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給一串?dāng)?shù)字找規(guī)律?但凡思考一秒鐘_都對(duì)不起你的

放大字體  縮小字體 發(fā)布日期:2023-02-27 21:40:58    作者:百里延彥    瀏覽次數(shù):100
導(dǎo)讀

你是否被這樣的問題困擾過?在小學(xué)階段,每個(gè)人應(yīng)該都做過這種題,給一串?dāng)?shù)字找規(guī)律。長(zhǎng)大以后,如果你參加過一些招聘考試,也應(yīng)該做過這種題,給一串?dāng)?shù)字找規(guī)律。給一串?dāng)?shù)字找規(guī)律,這應(yīng)該算是一個(gè)經(jīng)久不衰的問題。

你是否被這樣的問題困擾過?

在小學(xué)階段,每個(gè)人應(yīng)該都做過這種題,給一串?dāng)?shù)字找規(guī)律。

長(zhǎng)大以后,如果你參加過一些招聘考試,也應(yīng)該做過這種題,給一串?dāng)?shù)字找規(guī)律。

給一串?dāng)?shù)字找規(guī)律,這應(yīng)該算是一個(gè)經(jīng)久不衰的問題。但是,正如標(biāo)題所寫,面對(duì)這種問題,但凡思考一秒鐘,都對(duì)不起你的智商。

一個(gè)有點(diǎn)變態(tài)的例子

先來看一串?dāng)?shù)字:

1,2,3,4

下一個(gè)數(shù)字是多少?

不必思考,我直接告訴你答案:不管你填什么數(shù)字,都有規(guī)律!

這可不是隨口一說,而是可以嚴(yán)格證明的。

我相信大部分讀者都對(duì)嚴(yán)格證明不感興趣,所以我把證明過程放到了最后,現(xiàn)在先來看一個(gè)有點(diǎn)變態(tài)的例子。

回到上面那一串?dāng)?shù)字:

1,2,3,4

下一個(gè)數(shù)字是5嗎?

可以是5,但如果是5,那就一點(diǎn)都不變態(tài),所以我在這里選108。

1,2,3,4,108

這有什么規(guī)律?

一些讀者可能會(huì)覺得這還是太簡(jiǎn)單了,所以我還是讓它更變態(tài)一點(diǎn)比較好,讓再下一個(gè)數(shù)字等于-7。

1,2,3,4,108,-7

現(xiàn)在應(yīng)該有點(diǎn)意思了,那么這一串?dāng)?shù)字有什么規(guī)律?

各位讀者可以先思考一下。

1,2,3,4,108,-7

這其實(shí)是一個(gè)數(shù)列,我們通常說的“找規(guī)律”其實(shí)就是找出數(shù)列的通項(xiàng)公式。

比如:2,4,8,16,32,……

這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式就是:

也可以做成表格:

A1

A2

A3

A4

A5

2

4

8

16

32

數(shù)列的通項(xiàng)公式就像函數(shù)的解析式一樣,只不過數(shù)列的通項(xiàng)公式的自變量只能取離散的數(shù)字,而函數(shù)的解析式的自變量可以連續(xù)取值。

所以函數(shù)的研究方法可以套用到數(shù)列上。

很多函數(shù)的解析式可以用泰勒級(jí)數(shù)表示,在這里不需要知道泰勒級(jí)數(shù)究竟是什么,只需要知道:

函數(shù)的解析式可以寫成“多項(xiàng)式”的形式。

比如:

套用到數(shù)列上,可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式假設(shè)成多項(xiàng)式:

對(duì)于這個(gè)具體的數(shù)列:

1,2,3,4,108,-7

可以列出一個(gè)表格:

x

1

2

3

4

5

6

y

1

2

3

4

108

-7

根據(jù)這前六項(xiàng),以及之前寫出的多項(xiàng)式,可以得到一個(gè)方程組:

六個(gè)獨(dú)立方程,六個(gè)未知數(shù),解方程組就能求出多項(xiàng)式的系數(shù),寫出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。

文章末尾會(huì)談?wù)撨@個(gè)方程組的簡(jiǎn)單求解方法,在這里我直接給出結(jié)果:

頭條上不能編輯太長(zhǎng)的公式,我把一個(gè)公式分成兩段,大家湊合著看。

1,2,3,4,108,-7

背后的規(guī)律就是上面那個(gè)通項(xiàng)公式。

談一談線性代數(shù)

現(xiàn)在也該說一說證明過程了,怎么確保列出的方程組一定有解?

有人可能會(huì)問:

如果列出的方程組根本就沒有解,那不就找不到規(guī)律了?

可以用線性代數(shù)看待這個(gè)問題,把上文列出的方程組寫成矩陣的形式:

如果方程組有解,那么系數(shù)矩陣就有逆矩陣。系數(shù)矩陣也就是這個(gè)矩陣:

大家應(yīng)該可以發(fā)現(xiàn),不管是怎樣的一串?dāng)?shù)字,列出的系數(shù)矩陣都是一個(gè)結(jié)構(gòu)。這種矩陣有專門的名字:范德蒙矩陣。

學(xué)過線性代數(shù)的讀者應(yīng)該知道,一個(gè)矩陣有逆矩陣的條件是:行列式不為零。

范德蒙矩陣的行列式就是范德蒙行列式,范德蒙行列式有簡(jiǎn)單的計(jì)算方法,一般的范德蒙行列式是:

如果用det表示行列式,范德蒙行列式的計(jì)算方法是:

上文中的那個(gè)具體的系數(shù)矩陣,對(duì)應(yīng)到上面的公式里就是:

x1

x2

x3

x4

x5

x6

1

2

3

4

5

6

大家應(yīng)該很容易看出來,不管用一串?dāng)?shù)字列出多少個(gè)方程,上文提到的系數(shù)矩陣的行列式一定不為零,所以方程組一定有解。

談一談Excel

不知道有沒有讀者試過求解上文中的方程組,用人腦解那種方程組確實(shí)不容易,而且很容易算錯(cuò)。

把繁瑣的計(jì)算交給電腦,才是明智的選擇。

用X表示系數(shù)矩陣,a表示多項(xiàng)式系數(shù)組成的向量,y表示所給數(shù)字組成的向量,上面這個(gè)方程組可以簡(jiǎn)寫成:

只需要求出系數(shù)矩陣的逆矩陣,在與所給數(shù)字組成的向量相乘,就解出了多項(xiàng)式的系數(shù):

可以用Excel快速求出一個(gè)矩陣的逆矩陣,首先需要把矩陣輸入Excel:

再選中一個(gè)與輸入的矩陣的行數(shù)、列數(shù)都相同的區(qū)域:

插入下圖中的函數(shù):

選中輸入的矩陣:

再按“ctrl+shift+enter”鍵,就能得到逆矩陣:

上圖中的逆矩陣元素是用小數(shù)表達(dá)的,如果想看得更直觀,可以把“單元格格式”設(shè)置成“分?jǐn)?shù)”:

再輸入所給數(shù)字組成的向量,選中與向量相同列數(shù)的區(qū)域:

插入下圖中的函數(shù):

選中矩陣與向量:

再按“ctrl+shift+enter”鍵,就能得到多項(xiàng)式系數(shù)組成的向量:

如果想看得更直觀,可以把“單元格格式”設(shè)置成“分?jǐn)?shù)”:

我相信大家已經(jīng)理解,給一串?dāng)?shù)字找規(guī)律,但凡思考一秒鐘,都對(duì)不起你的智商。

正是因?yàn)殡S便填幾個(gè)數(shù),都有規(guī)律。導(dǎo)致給一串?dāng)?shù)字找規(guī)律,往往毫無意義。

 
(文/百里延彥)
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