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初中幾何定值問題_定平方和5例

放大字體  縮小字體 發布日期:2023-03-11 17:46:15    作者:付藹玲    瀏覽次數:128
導讀

初中幾何定值問題:定平方和5例題目1:如圖, OA、OB是圓O任意兩條半徑,過B作BE丄OA于E,作0 P丄AB于P, 則定值0P2+ EP2 為(R2)。解題思路:設圓O得半徑為R。已知OP丄AB,故P為AB之中點,EP為Rt△BEA斜邊上得

初中幾何定值問題:定平方和5例

題目1:如圖, OA、OB是圓O任意兩條半徑,過B作BE丄OA于E,作0 P丄AB于P, 則定值0P2+ EP2 為(R2)。

解題思路:設圓O得半徑為R。已知OP丄AB,故P為AB之中點,EP為Rt△BEA斜邊上得中線,故EP = PB = PA。所以OP2 + EP2 = OP2 +PB2 = R2。

題目2:如圖1,圓0得半徑為R,AB、CD是圓0得任意兩條弦且AB丄CD于M。

求證AB 2+(CM-DM)2為定值。

解題思路:圖2,連接BO并延長交圓于E,連接AE,則∠EAB = 90°,EA // CD,四邊形 AECD為等腰梯形,EC = AD。

作EF⊥CD,則四邊形 AEFM為矩形,CF= DM(軸對稱),EA = FM = CD-CF-DM = CM-DM。

根據鉤股定理:EB2 = AB2 + EA2。

4 R2 = AB2 +(CM-DM)2。

故AB2+(CM-DM)2= 4 R2,為定值。

題目3:如圖,點P是圓0直徑AB上得任意一點,過點P得弦CD和AB相交成45°夾角。

求證PC2+PD2有定值。

解題思路:詳見圓中與直徑成45°得弦:AP 2+ BP 2=2R 2

題目4:如圖1,已知等邊△ABC內接于半徑為1得圓0,P是圓0上任意一點,求證PA2+ PB2 + PC2為定值。

解題思路:圖2,作CD⊥BP交其延長線于D, ∠CPD = 60°。通過鉤股定理得BC2= PB2+ PC2+ PB· PC。

2BC2 = 2PB2+ 2PC2+ 2PB·PC…… ①

又根據托勒密定理得PA = PB + PC,

PA2= PB2+ PC2 + 2PB·PC…… ②。

用①-②得2BC2-PA2 = PB2+ PC2,

故PA2 + PB2+ PC2 = 2 BC2……③

又知圓內接正三角形得邊長與半徑R得關系為

邊長= √3 R,代入③式則

PA2 + PB2 + PC2= 6。

(有關知識參考等邊三角形外接圓得幾個性質 等邊三角形外接圓得幾個性質 )

題目5:如圖,內接于圓0得四邊形ABCD得對角線AC與BD垂直相交于K,設圓得半徑為R,求證 AK2+ BK2 + CK2+ DK2是定值。

解題思路:應用知識點①對角線互相垂直得四邊形叫垂美四邊形,其兩組對邊得平方和相等;②相交弦定理。

圖2,過圓心分別作兩條弦得垂線,垂足E、F分別是兩弦得中點,連接OA(R),則

AK· C K = BK· DK…… ①

AE = 1 /2 AC = 1/2(AK + CK)…… ②

OE = FK = 1/2(DK-BK)…… ③

根據鉤股定理得:

A02 = R2 = AE2 + OE2 。

將 ①②③式代入最后得:AK2+ BK2 + CK2 + DK2 = 4 R2,為定值。

總結:以上圓得定值問題均與圓半徑掛鉤,雖然有些題目未提半徑,但是我們知道圓半徑是一個重要得固定得參數。

 
(文/付藹玲)
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