癡老頭獄中攻難題

在陰森森的監獄里，坐著一個又干又瘦的老頭兒，他一言不發，手里拿著一根木尺和一根繩子，在潮濕的地上又是畫直線，又是畫圓弧，忙得不亦樂乎。好奇的同伴圍上去看熱鬧，一打聽，才知道他叫亞拿撒哥拉斯，是古希臘愛奧尼亞學派有名的大學者。坐牢的事他只字不提，卻津津有味地大談起他的研究_怎樣用圓規和直尺畫一個正方形，使她和已知圓的面積相等。聽的人都禁不住好笑，坐牢就老老實實地坐吧，還要去胡折騰。圓是曲線形，怎么可能畫出一個直線形與她面積相等呢？這不是自找罪受！

這些人的說法其實并不一定正確，曲線形就一定化不成直線形嗎？請看圖1的拋物線，她的方程是y＝-3x^2 +3。這個拋物線和x軸圍成一個曲線形（圖中陰影部分）。要作一個和她面積相等的正方形，真是易如反掌，只需要作一個邊長為2的正方形（虛線所示）就成了。

圖1

雖然如此，老頭兒的研究卻始終沒有成功。老頭兒后來不知所終，但是他研究的這個問題卻傳了下來，叫做 “化圓為方”，成為古代“幾何三大難題”之一（另外兩大難題是“三等分任意角”，“立方倍積”）。

古希臘學者希波克拉底（約公元前460-前377）對“化圓為方”問題非常感興趣，而且信心十足，認為可以“手到擒拿”。 原來他發現了一個十分有趣的“月形定理”。如圖2, △ABC 是一個直角三角形。分別以AC、CB、AB為直徑向上方畫半圓。根據勾股定理可知_

故容易證得半圓AC＋半圓CB＝半圓AB。（因為圓面積與直徑或半徑的平方成正比）。

圖2

同減去公共部分（沒有陰影的部分），就得到月牙形I+月牙形Ⅱ_△ABC。如果AC_CB，則月牙形I_月牙形Ⅱ_(1/2)△ABC。希波克拉底認為，既然比圓形更復雜的月牙形很容易就化成了三角形。那么，圓形化成正方形不是就更加輕而易舉了嗎？可是，他的如意算盤打錯了，到他死的時候也沒有能夠化圓為方。

將近兩千年的時間過去了，無數學者“化圓為方”的種種企圖都告失敗。到了文藝復興時代，出了一個大畫家兼科學家達?芬奇（1452-1519)，他宣布能夠化圓為方，并且可以當眾試驗。他拿來一個圓柱，底面和已知圓相等，高等于已知圓半徑的1/2。他把圓柱在平面上滾動一圈，產生一個矩形（圖3）。達?芬奇像變魔術似地指著這個矩形說_“諸位，她的面積就等于已知圓的面積！因為矩形的面積＝2πr?(r/2)_ (πr)^2＝已知圓面積。”馬上就有人指出，達?芬奇先生是在開玩笑_因為他的這個“作圖法”大大違反了圓規直尺的嚴格限制。不錯，達?芬奇畢竟是個藝術大師呀！

圖3

兩千年的無數次失敗，使人產生了懷疑， “嫌疑犯”就是那個π。π是個什么東西呀？她為什么老不肯就范？要弄清“化圓為方”，關鍵就是要摸清π的底細。這又得回頭去，從兩千多年前的一樁公案談起。

勇青年海上遭橫禍

古希臘大數學家畢達哥拉斯早年云游各地，后來在意大利的克洛吞定居，并成立了一個半宗教半學術的團體，自己擔任領袖和數學教師。團體的紀律森嚴，誰要是違反了“教規”，可以處以極刑。畢達哥拉斯認為，世界上的萬事萬物都是由“數”構成的，一切現象都可以歸納成為“整數”或“整數之比”（分數），“整數”和“分數”構成了美妙無比的宇宙。這就是畢達哥拉斯認為天經地義的一套哲學。比如畢氏的弟子們研究了樂音的音階，他們發現，如果把“中音1”的弦長定為1，則“高音i”的弦長就是1/2，音階與弦長有如下的妙不可言的分數關系_

圖4

他們甚至相信，一切行星在她們的軌道上運行時也一定會發出一種來自天上的、整數比的樂音_天體音樂。

誰知他們的狂熱，被一個人狠狠地潑了一瓢冷水，這就是入會不久的希帕斯。希帕斯是個勤奮好學的青年，他善于獨立思考，不盲從附合。他學了勾股定理以后發現，如果正方形的邊長為1，那么對角線的長度既不能表示為整數，也不能表示為分數。這個前所未有的新數，叫人很傷腦筋，但她的確存在。希帕斯的發現如象一聲晴天霹靂，動搖了畢達哥拉斯整個關于數的神秘主義的哲學基礎。畢氏大驚失色， 惶恐不安，立刻下令封鎖消息。可是怎么封鎖得住呢？一傳十，十傳百，早傳開了。畢氏十分惱火，命令他的門徒捉拿希帕斯。希帕斯并不屈服，逃離了這個學會。這群盲從的門徒，緊追不舍，結果在地中海的一只船上抓住了希帕斯。希帕斯并不屈服，逃離了這個學會。這群盲從的門徒，緊追不舍，結果在地中海的一只船上抓住了希帕斯。按照首腦的命令，把希帕斯扔到了海里。

圖5

希帕斯發現的新數就是無理數根號2。無理數的發現，是數學上的一次重大突破。對數學作出如此重大貢獻的希帕斯，既沒有得到“博士學位”，又沒有領到“菲爾茲獎”，卻得到如此下場，真是數學史上的一大悲劇。

希帕斯死后，人們繼續發現了許許多多的無理數。這種數雖然“無理”（既除不盡又不循環），人們還是終于承認了她的存在。她給解方程帶來了很大的方便。

劉維爾的驚人發現

整數、分數合稱有理數，有理數和無理數有一個共同的性質，她們都可以看作是整系數代數方程的根。比如5/7就是方程7x-5_0的根，2^(1/3)就是方程x^3-2_ 0的根，等等。因此，這類數，我們叫她“代數數”。

人們自然會提出這樣的問題_有沒有不是代數數的數呢？

法國數學家劉維爾（1809-1882）解答了這個問題。他首先從理論上證明了確實有這種非代數數的數存在（這種數取名“超越數”）。接著在1851年，他找到了第一個超越數

（小數點后第1、第2、第6、第24、第120位……處有一個1，其余均為0。）

為了紀念這一重大發現，人們把這個數叫做“劉維爾數”。不久，法國數學家埃米特(1822-1901）證明了自然對數的底

也是一個超越數。

后來人們陸續發現，對數值如log2，三角函數值如sin1°等等都是超越數。1900年，希爾伯特（1862-1943）在著名的一次講演中提出23個數學問題，其中的第7個問題就是猜測象這種數是超越數。后來在1934年，蘇聯蓋爾馮德和施奈德分別證明了這種數的超越性。

特別使人感到驚奇的是_實數數軸上幾乎全部的數都是這種超越數！這就是說，和我們的預料恰恰相反，所有的代數數不但不能夠把數軸填滿，而且如果把超越數統統抽掉，數軸上就只剩下稀稀拉拉的少得十分可憐的代數數了。這真是有點叫人不敢相信，但事實就是如此！

圖6

對于超越數的研究，現在還非常不夠。至今數學家還弄不清楚，任意兩個超越數之和還是不是超越數呢！

林德曼掃興收場

繞了這么大一個圈子，現在書歸正傳，“化圓為方”的作圖到底可不可能呢？

現在我們來研究一下圓的面積。圓面積_πr^2，所以關鍵問題就在π是一個什么樣的數了。

如果π是一個整數，比如3，那么化圓為方當然是易如反掌了，可惜不是。

如果π是一個分數，比如22/7，那么化圓為方也很容易解決了，可惜也不是。

如果π是一個無理數呢？那得看是什么樣的無理數。用解析幾何容易證明，凡是用圓規直尺能夠作出的數都是_由表示單位長度的1，經過有限次加、減、乘、除以及開平方所得的實數。比如

等等，都能用圓規直尺作出。而就不可能。所以，在十八世紀只是證明了π是一個無理數的時候，并沒有中止那些“化圓為方”的熱心者的努力，他們覺得仍然存在一線希望。

1882年，德國數學家林德曼(1852-1939）證明了π是一個超越數，完全否定了“化圓為方”作圖的可能性，兩千多年來的“公案”才算有了一個收場。不過，這個收場很令那些熱衷于“化圓為方”問題的人掃興。其實，兩千多年來人們的勞動并沒有白費，“化圓為方”雖然失敗了，但是人們在這個過程中逐漸認識了有理數、無理數、代數數、超越數，建立了一個完整的實數系統。她的意義遠比“化圓為方”要大得多哩！

由于林德曼的證明過于艱深，一般人很難看懂，因此不少存有僥幸心理的人，仍然繼續在那里徒勞無益地尋找“化圓為方”的答案。以致有的科學研究機關三番五次發出聲明，拒絕接受審查這一類不可能問題的“論文”。法國天文學家兼數學家阿拉哥，稱這種人叫做“害了聰明病”的人， 并且用十劣幽默的口吻寫道_“所有國家的科學院，在和追求解決方圓問題的人們作斗爭中，發現一個事實，這個病癥一般都在春天的時候加劇。”